Borsuk 猜想 80 年（1932–2013）

1932 年，波兰数学家 Borsuk 做出以下猜想

n 维空间中任意一个直径等于 1 的集合都可以分割为 n+1 个直径小于 1 的集合。

此处「直径」即集合中任意两点间可能的最大距离。Borsuk 自己证明，n 维单位球可以分割成直径小于 1 的 n+1 份，且猜想在 2 维成立。之后，各路数学家陆续证明，猜想在 3 维成立，并且在任意维度下对光滑凸集、中心对称体及旋转体成立。

这个猜想越看越真，直到 Larman 于 1984 年提出下面这个关于有限集的猜想：

设 K 为一个 n 元集合中的一组 k 元子集，且其中任意两个子集都共享 t 个元素，那么可以把 K 分成 n 份，每份中的任意两个子集都共享 t+1 个元素。

容易证明（如果你会证的话……）Borsuk 猜想蕴含了 Larman 猜想，但是 Larman 猜想怎么看都不像是真的。

1993 年，根据以色列数学家 Kalai 的描述：

有一次 Jeff（美国数学家 J. Kahn）携全家来访。
来之前我发邮件问：你来期间我们研究些什么呢？
Jeff 答：搞定 Borsuk 猜想。
我又问：那第二个星期做什么呢？
Jeff 答：我们写文章。

然后他们就证伪了 Borsuk 猜想……对足够大的 d，他们构造了一个有限集合，需要分割成 份才能保证每份的直径都更小。证明部分只有半页，主要思路是从一个子集系统映射到另一个子集系统，然后用 Frankl–Wilson 的交集定理。关于 Frankl 这个人见 ピーター・フランクル - Heroes in My Heart - 知乎专栏。

故事并没有结束……

Borsuk 猜想被证伪后，引发了一场「竞赛」：谁能找出维度最小的反例？

Kahn–Kalai 的证明显示 Borsuk 猜想在 1305 维不成立。对他们的证明方法进行改进后，Nilli 证明猜想在 946 维不成立，Raigorodski 将反例降到 561，Weissbach 降到 560。最后两个证明被收在《天书》里，已经不用 Frankl–Wilson 定理了，但思路还是差不多的。

2003 年，Hinrich 用 Leech lattice 将反例降到 323 维，其方法被 Pikhurko 改进，降到 321 维，之后 Hinrich–Richter 将反例将到 298 维。

最近的成果在 2013 年。Bondarenko 使用强正则图（strongly regular graph），将反例降到 65 维，然后 Jenrich 改进他的证明，将反例降到 64 维。Bondarenko 构造的集合包含 416 个点，其特别之处在于任意两点之间的距离只有两个可能的值。这个集合需要分成 83 份才能保证每份的直径更小。这个构造使用了 Suzuki tower 中一个特殊强正则图。看过证明的人都觉得，这个反例能出现真的是一个奇迹。

64 是目前的纪录，不知今后是否还会有更小的反例。但是现在有一个严重的问题：目前的反例都是离散的有限的，无限的反例会是什么样的呢？

（题图来自 Save The Badger）

来源：知乎 www.zhihu.com
作者：陳浩

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